Categorieën
Artikelen

Neutrino’s leiden tot onverwachte ontdekkingen in basiswiskunde | Quanta Magazine

Drie natuurkundigen kwamen een onverwachte relatie tegen tussen enkele van de meest alomtegenwoordige objecten in de wiskunde.

Na het ontbijt op een ochtend in augustus opende de wiskundige Terence Tao een e-mail van drie natuurkundigen die hij niet kende. Het trio legde uit dat ze een eenvoudige formule waren tegengekomen die, indien waar, een onverwachte relatie tussen enkele van de meest elementaire en belangrijke objecten in lineaire algebra tot stand bracht.

Natalie Wolchover

— Lees op Quanta Magazine


De formule ‘zag er te mooi uit om waar te zijn’, zegt Tao, professor aan de University of California, Los Angeles, een Fields-medaillewinnaar en een van ’s werelds toonaangevende wiskundigen. ‘Zoiets kort en eenvoudigs – het had al in schoolboeken moeten staan’, zei hij. “Dus mijn eerste gedachte was: nee, dit kan niet waar zijn.”

Daarna dacht hij er nog eens over na.

De natuurkundigen – Stephen Parke van Fermi National Accelerator Laboratory, Xining Zhang van de University of Chicago en Peter Denton van Brookhaven National Laboratory – waren ongeveer twee maanden eerder tot de wiskundige identiteit gekomen terwijl ze worstelden met het vreemde gedrag van deeltjes die neutrino’s worden genoemd.

Ze hadden gemerkt dat moeilijk te berekenen termen die ‘eigenvectoren’ worden genoemd, in dit geval de manieren beschrijven waarop neutrino’s zich door materie voortplanten, gelijk waren aan combinaties van termen die ‘eigenwaarden’ worden genoemd, en die veel gemakkelijker te berekenen zijn. Bovendien realiseerden ze zich dat de relatie tussen eigenvectoren en eigenwaarden – alomtegenwoordige objecten in wiskunde, natuurkunde en techniek die sinds de 18e eeuw zijn bestudeerd – meer algemeen leek te gelden.

Hoewel de natuurkundigen nauwelijks konden geloven dat ze een nieuw feit over dergelijke basiswiskunde hadden ontdekt, konden ze de relatie niet vinden in boeken of kranten. Dus namen ze een kans en namen contact op met Tao, ondanks een opmerking op zijn website die waarschuwde voor dergelijke smeekbeden.

“Tot onze verbazing antwoordde hij binnen twee uur en zei dat hij dit nog nooit eerder had gezien”, zei Parke. Tao’s antwoord bevatte ook drie onafhankelijke bewijzen van de identiteit.

Anderhalve week later plaatsten de natuurkundigen en Tao, die Parke ‘een brandslang van de wiskunde’ noemde, een paper online met de nieuwe formule. Hun paper wordt nu beoordeeld door Communications in Mathematical Physics. In een afzonderlijk artikel dat is ingediend bij het Journal of High Energy Physics, gebruikten Denton, Parke en Zhang de formule om de vergelijkingen voor neutrino’s te stroomlijnen.

Van links: Xining Zhang, Peter Denton en Stephen Parke voor de formule die ze ontdekten.

Experts zeggen dat er meer toepassingen kunnen ontstaan, omdat er zoveel problemen zijn met het berekenen van eigenvectoren en eigenwaarden. ‘Dit is zeer breed toepasbaar’, zegt John Beacom, een deeltjesfysicus aan de Ohio State University. ‘Wie weet welke deuren het zal openen.’

Pure wiskundigen hebben hetzelfde gevoel. ‘Dit is zeker zowel verrassend als interessant’, zegt Van Vu, wiskundige aan de Yale University. ‘Ik vermoedde niet dat je eigenvectoren kunt berekenen met alleen informatie over eigenwaarden.’

Vu en Tao bleken in 2009 een enigszins verwante identiteit samen (vandaar dat Denton, Parke en Zhang in het begin dachten contact op te nemen met Tao), maar de nieuwe formule volgt duidelijk niet uit de oudere. En hoewel een vergelijkbare formule in mei van dit jaar in een wiskunde-artikel verscheen, legden de auteurs van dat artikel niet de link naar eigenvectoren en eigenwaarden.

In zekere zin is het niet verrassend dat natuurkundigen een nieuw inzicht in eeuwenoude wiskundige objecten hebben gekregen. De natuur heeft wiskundig denken geïnspireerd sinds mensen op 10 vingers begonnen te rekenen. ‘Om wiskunde te laten gedijen, moet het verbinding maken met de natuur’, zei Vu. “Er is geen andere weg.”

Transformer Tricks

Eigenvectoren en eigenwaarden zijn alomtegenwoordig omdat ze lineaire transformaties kenmerken: bewerkingen die alle delen van een object op dezelfde manier uitrekken, samendrukken, roteren of anderszins veranderen. Deze transformaties worden weergegeven door rechthoekige reeksen getallen die matrices worden genoemd. Een matrix kan een object 90 graden draaien; een ander kan het ondersteboven keren en het in tweeën krimpen.

Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine

Matrices doen dit door de ‘vectoren’ van een object te wijzigen – wiskundige pijlen die naar elke fysieke locatie in een object verwijzen. De eigenvectoren van een matrix – “eigen vectoren” in het Duits – zijn die vectoren die in dezelfde richting blijven uitgelijnd wanneer de matrix wordt toegepast. Neem bijvoorbeeld de matrix die dingen 90 graden rond de x-as roteert: de eigenvectoren liggen langs de x-as zelf, omdat punten die langs deze lijn vallen niet roteren, ook al draait alles om hen heen.

Een gerelateerde matrix kan objecten rond de x-as roteren en ze ook in tweeën verkleinen. Hoeveel een matrix zijn eigenvectoren uitrekt of samenknijpt, wordt gegeven door de bijbehorende eigenwaarde – in dit geval ½. (Als een eigenvector helemaal niet verandert, is de eigenwaarde 1.)

Eigenvectoren en eigenwaarden zijn onafhankelijk en normaal moeten ze afzonderlijk worden berekend, beginnend met de rijen en kolommen van de matrix zelf. Studenten leren hoe ze dit moeten doen voor eenvoudige matrices. Maar de nieuwe formule wijkt af van bestaande methoden. ‘Het opmerkelijke aan deze identiteit is dat je op geen enkel moment een van de vermeldingen van de matrix hoeft te kennen om iets uit te werken’, zei Tao.

De identiteit is van toepassing op “Hermitische” matrices, die eigenvectoren transformeren in reële hoeveelheden (in tegenstelling tot die met imaginaire getallen), en die dus van toepassing zijn in situaties in de echte wereld. De formule drukt elke eigenvector van een hermitische matrix uit in termen van de eigenwaarden van de matrix en die van de ‘kleine matrix’, een kleinere matrix die wordt gevormd door een rij en kolom van de oorspronkelijke matrix te verwijderen

Bij het horen van de nieuwe identiteit kwam Terence Tao binnen twee uur met drie onafhankelijke bewijzen.

Met dank aan UCLA

De formule is achteraf gezien logisch, zei Tao, omdat de eigenwaarden van de secundaire matrix verborgen informatie coderen. Maar “het was zeker niet iets waar ik bijvoorbeeld aan had gedacht.”

Het is ongebruikelijk in de wiskunde dat er een tool verschijnt die nog niet in verband wordt gebracht met een probleem, zei hij. Maar hij denkt dat de relatie tussen eigenvectoren en eigenwaarden gebonden is aan materie. “Het is zo mooi dat ik zeker weet dat het in de nabije toekomst enig nut zal hebben”, zei hij. ‘Op dit moment hebben we maar één applicatie.’

Vormveranderende deeltjes

Die toepassing zou neutrino’s zijn: de vreemdste, minst begrepen en meest teruggetrokken van de bekende fundamentele deeltjes. Neutrino’s passeren ons lichaam elke triljoen per seconde, maar omdat ze nauwelijks registreren, blijven veel van hun eigenschappen onbekend.

Intrigerend genoeg suggereert de theorie dat verschillen in het gedrag van neutrino’s en antineutrino’s de materie zouden kunnen laten domineren over antimaterie in het universum. Als deze tegenstellingen in gelijke mate in de oerknal waren ontstaan, zouden ze onderling zijn vernietigd, wat een kosmos zou opleveren die leeg is van alles behalve licht. Een onderscheid tussen neutrino’s en antineutrino’s zou de oorzaak kunnen zijn van het uiterst belangrijke overschot aan materie. “Als ze anders handelen, geeft dat ons een hint waarom het universum gevuld is met materie”, zegt Deborah Harris, een natuurkundige aan de York University en Fermilab die werkt aan een neutrino-experiment genaamd DUNE (voor Deep Underground Neutrino Experiment) gericht bij het meten van dergelijke verschillen.

Het experiment, dat neutrino’s zal meten die vanuit Fermilab in Illinois zijn afgevuurd naar een ondergrondse detector op 1.300 kilometer afstand in South Dakota, maakt gebruik van het feit dat neutrino’s in een van de drie mogelijke “smaken” voorkomen: elektron, muon of tau. Maar elke neutrino-smaak is een kwantummechanisch mengsel en neutrino’s oscilleren tijdens de vlucht tussen smaken. Terwijl een neutrino uit Fermilab reist, verandert het mengsel, zodat een muon-neutrino kan veranderen in een elektron-neutrino of een tau-neutrino.

Een buitengewoon gecompliceerde matrix van drie bij drie beschrijft deze oscillaties. Op basis van de eigenvectoren en eigenwaarden kunnen natuurkundigen een uitdrukking berekenen voor de waarschijnlijkheid dat een muon-neutrino tegen een tijd dat het South Dakota bereikt, in een elektron-neutrino zal oscilleren. Ze kunnen ook een uitdrukking berekenen voor de kans dat een muon-antineutrino een elektron-antineutrino wordt.

Lucy Reading-Ikkanda / Quanta Magazine; bron: Fermilab

Beide uitdrukkingen bevatten een onbekende: de ‘CP-schendende fase’, die aangeeft in hoeverre de oscillerende patronen van neutrino’s en antineutrino’s verschillen. Door de werkelijke oscillatiesnelheden te meten en te vergelijken, kunnen DUNE-wetenschappers dat onbekende oplossen. Als de CP-overtredingsfase groot genoeg is, zal dit helpen verklaren waarom het universum gevuld is met materie.

Alsof de berekeningen al niet moeilijk genoeg waren, maakt een bizar effect dat voor het eerst werd geïdentificeerd door de natuurkundige Lincoln Wolfenstein in 1978 de neutrinomatrix nog meer nachtmerrieachtig. Neutrino’s hebben zelden interactie met materie in de gebruikelijke zin, maar Wolfenstein realiseerde zich dat het passeren van materie in plaats van lege ruimte toch de manier verandert waarop neutrino’s zich voortplanten. Terwijl een elektronneutrino door materie zoemt, zal het af en toe een interactie aangaan met een elektron in een atoom, waardoor er effectief van plaats wordt gewisseld: het elektronneutrino transformeert in een elektron en omgekeerd.

Dergelijke swaps introduceren een nieuwe term in de matrix die elektronenneutrino’s beïnvloedt, wat de wiskunde enorm bemoeilijkt. Het is dit “Wolfenstein-materie-effect” dat Parke, Zhang en Denton ertoe aanzette een manier te zoeken om de berekeningen te vereenvoudigen.

De uitdrukkingen voor de eigenwaarden zijn eenvoudiger dan die van eigenvectoren, dus Parke, Zhang en Denton zijn daar begonnen. Eerder hadden ze een nieuwe methode ontwikkeld om de eigenwaarden nauw te benaderen. Met deze in de hand merkten ze op dat de lange eigenvectoruitdrukkingen in eerdere werken gelijk waren aan combinaties van die eigenwaarden. Door de twee samen te voegen, “kun je neutrino-oscillaties in materie snel en eenvoudig berekenen,” zei Zhang.

RELATED:


  1. How the Neutrino’s Tiny Mass Could Help Solve Big Mysteries
  2. Evidence Found for a New Fundamental Particle
  3. Neutrinos Suggest Solution to Mystery of Universe’s Existence
  4. The Peculiar Math That Could Underlie the Laws of Nature

Wat betreft het patroon dat de formule voorstelde, weten de natuurkundigen niet zeker. Parke zei dat ze gewoon voorbeelden van het patroon hebben opgemerkt en gegeneraliseerd. Hij geeft toe dat hij goed is in het oplossen van puzzels. Hij wordt zelfs gecrediteerd met het mede ontdekken van een ander belangrijk patroon in 1986 dat de berekeningen van de deeltjesfysica heeft gestroomlijnd en sindsdien inspireerde tot ontdekkingen.

Toch kwam het feit dat het vreemde gedrag van neutrino’s tot nieuwe inzichten over matrices kon leiden, als een schok. “Mensen lossen problemen met lineaire algebra al heel, heel lang op”, zei Parke. “Ik verwacht op een dag een e-mail te krijgen van iemand die zegt:‘ Als je naar dit obscure artikel van [de 19e-eeuwse wiskundige] Cauchy kijkt, in de derde bijlage in een voetnoot, is het er. ’”

Klein verschil

In feite bestond er al een vergelijkbare formule, maar deze was onopgemerkt gebleven omdat deze was vermomd.

In september kreeg Tao weer een onverwachte e-mail, dit keer van Jiyuan Zhang, een student wiskunde aan de University of Melbourne in Australië. Zhang wees op een gelijkwaardige formule in een paper dat hij in mei samen met zijn adviseur, Peter Forrester, had geschreven voordat Tao en de artikelen van de natuurkundigen verschenen. Zhang en Forrester werkten in een gebied van pure wiskunde dat willekeurige matrixtheorie wordt genoemd. Ze hadden de formule toegepast in hun studie van het gerandomiseerde hoornprobleem – een probleem dat daarmee verband hield dat Tao en een collega in 1999 oplosten.

In een e-mail aan Quanta legde Forrester uit dat de formule voor het eerst in weer een andere vorm verscheen in een paper uit 2001 van Yuliy Baryshnikov, een wiskundige aan de Universiteit van Illinois, Urbana-Champaign, wiens werk Forrester en Zhang hadden voortgebouwd. Deze wiskundigen hadden de objecten in hun identiteit niet beschreven als eigenvectoren, maar eerder als termen voor het berekenen van eigenwaarden van bepaalde kleine matrices die in hun probleem ontstonden.

Forrester noemde de formule in zijn en Zhangs paper ‘identiek’ aan die van Tao en de natuurkundigen. Tao noemde de formules ‘bijna identiek’, die op elkaar betrekking hadden als helften van de illusie van konijneneenden. ‘Sommige mensen waren alleen op zoek naar konijnen en andere mensen waren alleen op zoek naar eenden’, zei hij.

Denton beschouwde in een e-mail de reeds bestaande formule ‘dichtbij ons resultaat, maar niet precies in de roos.’ Hij voegde toe: “Gezien het belang van eigenvectoren voor veel toepassingen, denken we nog steeds dat ons resultaat duidelijk genoeg is om als nieuw te worden beschouwd.”

Het is misschien niet zo vreemd dat er na zoveel eeuwen in één zomer een plotselinge golf van activiteit zou zijn. ‘Er zijn veel gelijktijdige ontdekkingen in de wiskunde’, zei Tao. “Op de een of andere manier hangen de resultaten bijna in de lucht. En mensen beginnen net op de juiste plek te kijken. ‘

Update op 4 december 2019: in de weken na de publicatie van dit artikel werden de onderzoekers zich bewust van meer dan drie dozijn plaatsen waar de identiteit sinds 1966 in de literatuur was verschenen. Ze hebben nu hun oorspronkelijke paper herschreven met de geschiedenis van de identiteit, samen met alle zeven bekende bewijzen. Zoals Tao in een blogpost beschrijft, ‘speculeren ze ook op enkele mogelijke redenen waarom deze identiteit slechts een bescheiden hoeveelheid erkenning en verspreiding bereikte voorafgaand aan het Quanta-artikel van november 2019’.

Dit artikel is herdrukt op TheAtlantic.com en Spektrum.de.


Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit /  Bijwerken )

Google photo

Je reageert onder je Google account. Log uit /  Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit /  Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit /  Bijwerken )

Verbinden met %s