Categorieën
Artikelen

Wat is de geometrie van het heelal? | Quanta Magazine

*Martin Knops: dit is een lastig maar wel interessant artikel


In onze geest lijkt het universum eeuwig door te gaan. Maar met behulp van geometrie kunnen we een verscheidenheid aan driedimensionale vormen verkennen die alternatieven bieden voor de “gewone” oneindige ruimte.

Als je naar de nachtelijke hemel staart, lijkt de ruimte zich eeuwig in alle richtingen uit te strekken. Dat is ons mentale model voor het universum, maar het is niet noodzakelijk correct. Er was tenslotte een tijd dat iedereen dacht dat de aarde plat was, omdat de kromming van onze planeet te subtiel was om te detecteren en een bolvormige aarde ondoorgrondelijk was.

Tegenwoordig weten we dat de aarde de vorm van een bol heeft. Maar de meesten van ons denken weinig na over de vorm van het universum. Net zoals de bol een alternatief bood voor een platte aarde, bieden andere driedimensionale vormen alternatieven voor de “gewone” oneindige ruimte.

We kunnen twee afzonderlijke maar onderling samenhangende vragen stellen over de vorm van het universum. Een daarvan gaat over de geometrie: de fijnmazige lokale metingen van zaken als hoeken en gebieden. De andere gaat over de topologie: hoe deze lokale stukken aan elkaar worden gestikt tot een overkoepelende vorm.

Kosmologisch bewijs suggereert dat het deel van het universum dat we kunnen zien, glad en homogeen is, tenminste ongeveer. De lokale structuur van de ruimte ziet er op elk punt en in elke richting ongeveer hetzelfde uit. Slechts drie geometrieën voldoen aan deze beschrijving: plat, bolvormig en hyperbolisch. Laten we eens kijken naar deze geometrieën, enkele topologische overwegingen en wat het kosmologische bewijs zegt over welke vormen het beste ons universum beschrijven.

Platte geometrie

Dit is de geometrie die we op school hebben geleerd. De hoeken van een driehoek zijn samen 180 graden en de oppervlakte van een cirkel is πr2. Het eenvoudigste voorbeeld van een platte driedimensionale vorm is de gewone oneindige ruimte – wat wiskundigen de Euclidische ruimte noemen – maar er zijn ook andere platte vormen om te overwegen.

Deze vormen zijn moeilijker te visualiseren, maar we kunnen wat intuïtie opbouwen door in twee dimensies te denken in plaats van in drie. Naast het gewone Euclidische vlak, kunnen we andere platte vormen maken door een stuk van het vlak uit te snijden en de randen aan elkaar te plakken. Stel dat we een rechthoekig stuk papier uitsnijden en de tegenoverliggende randen vastplakken. Door de boven- en onderrand te tapen, krijgen we een cilinder:

Vervolgens kunnen we de rechter- en linkerrand afplakken om een donut te krijgen (wat wiskundigen een torus noemen):

Nu denk je misschien: “Dit lijkt me niet plat.” En je zou gelijk hebben. We speelden een beetje vals door te beschrijven hoe de platte torus werkt. Als je op deze manier echt zou proberen een torus van een vel papier te maken, zou je op problemen stuiten. Het maken van de cilinder zou gemakkelijk zijn, maar het vastplakken van de uiteinden van de cilinder zou niet werken: het papier zou kreukelen langs de binnenste cirkel van de torus, en het zou niet ver genoeg langs de buitenste cirkel strekken. Je zou wat rekbaar materiaal moeten gebruiken in plaats van papier. Maar door dit uitrekken worden lengtes en hoeken vervormd, waardoor de geometrie verandert.

In een gewone driedimensionale ruimte is er geen manier om een echte, gladde fysieke torus te bouwen van plat materiaal zonder de platte geometrie te vervormen. Maar we kunnen abstract redeneren over hoe het zou zijn om in een platte torus te leven.

Stel je voor dat je een tweedimensionaal wezen bent wiens universum een platte torus is. Aangezien de geometrie van dit universum afkomstig is van een plat stuk papier, zijn alle geometrische feiten die we gewend zijn hetzelfde als gewoonlijk, althans op kleine schaal: hoeken in een driehoek tellen op tot 180 graden, enzovoort. Maar de veranderingen die we hebben aangebracht in de globale topologie door te knippen en vast te plakken, betekenen dat de ervaring van het leven in de torus heel anders zal aanvoelen dan we gewend zijn.

Om te beginnen zijn er rechte paden op de torus die in een lus rondlopen en terugkeren naar waar ze begonnen:

Deze paden zien er gebogen uit op een vervormde torus, maar voor de bewoners van de platte torus voelen ze zich recht. En aangezien het licht langs rechte paden reist, zie je jezelf van achteren als je recht vooruit kijkt in een van deze richtingen:

Op het originele vel papier is het alsof het licht dat je ziet van achter je wegschiet tot het de linkerrand raakt en vervolgens weer aan de rechterkant verschijnt, alsof je in een omhullend videospel zit:

Een gelijkwaardige manier om hierover na te denken, is dat als je (of een lichtstraal) over een van de vier randen reist, je tevoorschijn komt in wat een nieuwe ‘kamer’ lijkt te zijn, maar in feite dezelfde kamer is, zojuist gezien vanuit een nieuwe uitkijkpunt. Terwijl je door dit universum dwaalt, kun je een oneindige reeks exemplaren van je oorspronkelijke kamer binnengaan.

Dat betekent dat je ook oneindig veel verschillende exemplaren van jezelf kunt zien door in verschillende richtingen te kijken. Het is een soort spiegelzaaleffect, behalve dat de kopieën van jou geen weerspiegelingen zijn:

Op de donut komen deze overeen met de vele verschillende lussen waardoor het licht van u terug naar u kan reizen:

Op dezelfde manier kunnen we een platte driedimensionale torus bouwen door de tegenoverliggende zijden van een kubus of een andere doos te lijmen. We kunnen deze ruimte niet visualiseren als een object in een gewone oneindige ruimte – het past gewoon niet – maar we kunnen abstract redeneren over het leven erin.

Net zoals het leven in de tweedimensionale torus was alsof je in een oneindige tweedimensionale reeks identieke rechthoekige kamers leefde, is het leven in de driedimensionale torus als leven in een oneindige driedimensionale reeks identieke kubieke kamers. Je zult oneindig veel exemplaren van jezelf zien:

Adapted from TechR

De driedimensionale torus is slechts een van de 10 verschillende platte eindige werelden. Er zijn ook platte oneindige werelden, zoals de driedimensionale analoog van een oneindige cilinder. In elk van deze werelden is er een andere reeks van spiegelzaal om te ervaren.

Is ons universum een van deze andere platte vormen?

Als we de ruimte in kijken, zien we niet oneindig veel exemplaren van onszelf. Toch is het verrassend moeilijk om deze platte vormen uit te sluiten. Ten eerste hebben ze allemaal dezelfde lokale geometrie als de Euclidische ruimte, dus geen enkele lokale meting kan ze onderscheiden.

En als je een kopie van jezelf zou zien, zou dat verre beeld laten zien hoe jij (of je melkwegstelsel bijvoorbeeld) er in het verre verleden uitzag, aangezien het licht een lange tijd heeft moeten reizen om je te bereiken. Misschien zien we daar onherkenbare kopieën van onszelf. Om het nog erger te maken, zullen verschillende kopieën van uzelf zich meestal op verschillende afstanden van u bevinden, dus de meeste zullen er niet hetzelfde uitzien als elkaar. En misschien zijn ze toch allemaal te ver weg om te zien.

Om deze problemen te omzeilen, zoeken astronomen over het algemeen niet naar kopieën van onszelf, maar naar herhalende kenmerken in het verste dat we kunnen zien: de kosmische microgolfachtergrondstraling (CMB) die overblijft van kort na de oerknal. In de praktijk betekent dit het zoeken naar paren cirkels in de CMB die overeenkomende patronen van warme en koude plekken hebben, wat suggereert dat ze in werkelijkheid dezelfde cirkel zijn, gezien vanuit twee verschillende richtingen.

In 2015 hebben astronomen precies zo’n zoekopdracht uitgevoerd met behulp van gegevens van de Planck-ruimtetelescoop. Ze kamden de gegevens uit voor de soorten bijpassende cirkels die we zouden verwachten te zien in een platte driedimensionale torus of een andere platte driedimensionale vorm die een plaat wordt genoemd, maar ze konden ze niet vinden. Dat betekent dat als we in een torus leven, deze waarschijnlijk zo groot is dat herhalende patronen buiten het waarneembare universum liggen.

Sferische geometrie

We kennen allemaal tweedimensionale bollen: het oppervlak van een bal, of een sinaasappel, of de aarde. Maar wat zou het betekenen voor ons universum om een driedimensionale bol te zijn?

Het is moeilijk om een driedimensionale bol te visualiseren, maar het is gemakkelijk om er een te definiëren door middel van een eenvoudige analogie. Net zoals een tweedimensionale bol de verzameling van alle punten is op een vaste afstand van een bepaald middelpunt in een gewone driedimensionale ruimte, is een driedimensionale bol (of ‘driedimensionale’) de verzameling van alle punten op een vaste afstand van een middelpunt in de vierdimensionale ruimte.

Het leven in een drie-sfeer voelt heel anders aan dan het leven in een vlakke ruimte. Om er een idee van te krijgen, stel je voor dat je een tweedimensionaal wezen bent dat in een tweedimensionale sfeer leeft. De tweedimensionale bol is het hele universum – je kunt de omringende driedimensionale ruimte niet zien of openen. Binnen dit bolvormige universum reist licht langs de kortst mogelijke paden: de grote cirkels. Voor jou voelen deze geweldige cirkels aan als rechte lijnen.

Stel je nu voor dat jij en je tweedimensionale vriend rondhangen op de Noordpool, en je vriend gaat wandelen. Terwijl je vriend wegloopt, zullen ze in eerste instantie kleiner en kleiner lijken in jouw visuele cirkel, net als in onze gewone wereld (hoewel ze niet zo snel zullen krimpen als we gewend zijn). Dat komt omdat naarmate je visuele cirkel groeit, je vriend er een kleiner percentage van inneemt:

Maar zodra je vriend de evenaar passeert, gebeurt er iets vreemds: ze beginnen groter en groter te lijken naarmate ze verder van je af lopen. Dat komt doordat het percentage dat ze bezetten in uw visuele cirkel groeit:

Als je vriend 3 meter van de Zuidpool verwijderd is, zien ze er net zo groot uit als toen ze 3 meter van je verwijderd waren:

En wanneer ze de Zuidpool zelf bereiken, kun je ze in alle richtingen zien, zodat ze je hele visuele horizon vullen:

Als er niemand op de Zuidpool is, is je visuele horizon nog iets vreemder: jezelf. Dat komt omdat licht dat van je af komt helemaal rond de bol gaat totdat het naar je terugkeert.

Dit gaat direct over in het leven in de driedimensionale sfeer. Elk punt op de drie-bol heeft een tegengesteld punt, en als daar een object is, zullen we het zien als de volledige achtergrond, alsof het de lucht is. Als er daar niets is, zullen we onszelf in plaats daarvan als de achtergrond zien, alsof onze buitenkant op een ballon is gelegd, vervolgens binnenstebuiten is gekeerd en opgeblazen tot de hele horizon.

Hoewel de drie-bol het fundamentele model is voor sferische geometrie, is het niet de enige dergelijke ruimte. Net zoals we verschillende platte ruimtes hebben gebouwd door een stuk uit de Euclidische ruimte te snijden en aan elkaar te lijmen, kunnen we bolvormige ruimtes bouwen door een geschikt stuk van een drie-bol te lijmen. Elk van deze gelijmde vormen zal een spiegelzaaleffect hebben, net als bij de torus, maar in deze bolvormige vormen zijn er slechts eindig veel kamers om doorheen te reizen.

Is ons universum bolvormig?

Zelfs de meest narcistische onder ons zien onszelf meestal niet als de achtergrond van de hele nachtelijke hemel. Maar net als bij de platte torus, wil dat nog niet zeggen dat het niet kan bestaan, alleen omdat we geen fenomeen zien. De omtrek van het bolvormige universum kan groter zijn dan de grootte van het waarneembare universum, waardoor de achtergrond te ver weg is om te zien.

Maar in tegenstelling tot de torus kan een bolvormig universum worden gedetecteerd door puur lokale metingen. Bolvormen verschillen niet alleen van de oneindige Euclidische ruimte in hun globale topologie, maar ook in hun fijnkorrelige geometrie. Omdat rechte lijnen in sferische geometrie bijvoorbeeld grote cirkels zijn, zijn driehoeken puffier dan hun Euclidische tegenhangers, en hun hoeken zijn samen meer dan 180 graden:

In feite is het meten van kosmische driehoeken een primaire manier waarop kosmologen testen of het universum gekromd is. Voor elke hete of koude plek in de kosmische microgolfachtergrond zijn de diameter en de afstand tot de aarde bekend, die de drie zijden van een driehoek vormen. We kunnen de hoek meten die de vlek in de nachtelijke hemel insluit – een van de drie hoeken van de driehoek. Vervolgens kunnen we controleren of de combinatie van zijlengtes en hoekmaat goed past bij vlakke, sferische of hyperbolische geometrie (waarbij de hoeken van een driehoek samen minder dan 180 graden bedragen).

De meeste van dergelijke tests, samen met andere kromtemetingen, suggereren dat het heelal ofwel vlak of bijna vlak is. Een onderzoeksteam voerde onlangs echter aan dat bepaalde gegevens van het vrijgavepunt van de Planck-ruimtetelescoop in 2018 in plaats daarvan naar een bolvormig universum gaan, hoewel andere onderzoekers hebben tegengeworpen dat dit bewijs hoogstwaarschijnlijk een statistisch toeval is.

Hyperbolische meetkunde

In tegenstelling tot de bol, die in zichzelf kromt, opent hyperbolische meetkunde zich naar buiten. Het is de geometrie van slappe hoeden, koraalriffen en zadels. Het basismodel van hyperbolische meetkunde is een oneindige uitgestrektheid, net als een vlakke Euclidische ruimte. Maar omdat hyperbolische geometrie zich veel sneller naar buiten uitbreidt dan platte geometrie, is er geen manier om zelfs maar een tweedimensionaal hyperbolisch vlak in de gewone Euclidische ruimte te passen, tenzij we bereid zijn de geometrie ervan te vervormen. Hier is bijvoorbeeld een vertekend beeld van het hyperbolische vlak dat bekend staat als de Poincaré-schijf:

Roice Nelson

Vanuit ons perspectief zien de driehoeken nabij de grenscirkel er veel kleiner uit dan die nabij het midden, maar vanuit het perspectief van hyperbolische meetkunde hebben alle driehoeken dezelfde grootte. Als we zouden proberen om de driehoeken daadwerkelijk even groot te maken – misschien door rekbaar materiaal voor onze schijf te gebruiken en elke driehoek om beurten op te blazen, vanuit het midden naar buiten toe te werken – zou onze schijf op een slappe hoed gaan lijken en zou hij steeds meer gaan knikken als we werkte ons een weg naar buiten. Toen we de grens naderden, zou deze knik uit de hand lopen.

Vanuit het oogpunt van hyperbolische meetkunde is de grenscirkel oneindig ver verwijderd van elk innerlijk punt, aangezien je oneindig veel driehoeken moet doorkruisen om daar te komen. Dus het hyperbolische vlak strekt zich uit tot in alle richtingen, net als het Euclidische vlak. Maar in termen van de lokale geometrie is het leven in het hyperbolische vlak heel anders dan we gewend zijn.

In de gewone Euclidische meetkunde is de omtrek van een cirkel recht evenredig met zijn straal, maar in hyperbolische meetkunde groeit de omtrek exponentieel in vergelijking met de straal. We kunnen die exponentiële stapeling zien in de massa’s van driehoeken nabij de grens van de hyperbolische schijf.

Vanwege deze functie zeggen wiskundigen graag dat het gemakkelijk is om te verdwalen in hyperbolische ruimte. Als je vriend van je wegloopt in de gewone Euclidische ruimte, zullen ze er kleiner uit gaan zien, maar langzaam, omdat je visuele cirkel niet zo snel groeit. Maar in hyperbolische ruimte groeit je visuele cirkel exponentieel, dus je vriend lijkt al snel te krimpen tot een exponentieel klein stipje. Als je de route van je vriend niet zorgvuldig hebt gevolgd, is het bijna onmogelijk om je weg naar hem of haar later te vinden.

En in hyperbolische meetkunde tellen de hoeken van een driehoek op tot minder dan 180 graden – de driehoeken in onze tegels van de Poincaré-schijf hebben bijvoorbeeld hoeken die samen 165 graden bedragen:

De zijkanten van deze driehoeken zien er niet recht uit, maar dat komt omdat we naar hyperbolische geometrie kijken door een vervormde lens. Voor een inwoner van de Poincaré-schijf zijn deze krommen de rechte lijnen, omdat de snelste manier om van punt A naar punt B te komen, is door een kortere weg naar het midden te nemen:

Er is een natuurlijke manier om een driedimensionale analoog te maken met de Poincaré-schijf: maak gewoon een driedimensionale bal en vul deze met driedimensionale vormen die kleiner worden naarmate ze de grenssfeer naderen, zoals de driehoeken in de Poincaré-schijf. En net als bij platte en sferische geometrieën, kunnen we een assortiment van andere driedimensionale hyperbolische ruimtes maken door een geschikt deel van de driedimensionale hyperbolische bal uit te snijden en de vlakken ervan aan elkaar te lijmen.

Is ons universum hyperbolisch?

Hyperbolische geometrie, met zijn smalle driehoeken en exponentieel groeiende cirkels, voelt niet alsof het past in de geometrie van de ruimte om ons heen. En inderdaad, zoals we al hebben gezien, lijken de meeste kosmologische metingen tot nu toe een vlak universum te begunstigen.

Maar we kunnen de mogelijkheid niet uitsluiten dat we in een bolvormige of hyperbolische wereld leven, omdat kleine stukjes van beide werelden er bijna plat uitzien. Kleine driehoeken in sferische geometrie hebben bijvoorbeeld hoeken die slechts iets meer dan 180 graden bedragen, en kleine driehoeken in hyperbolische geometrie hebben hoeken die samen slechts iets minder dan 180 graden bedragen.

Dat is de reden waarom vroege mensen dachten dat de aarde plat was – op de weegschaal die ze konden waarnemen, was de kromming van de aarde te minuscuul om te detecteren. Hoe groter de bolvorm of hyperbolische vorm, hoe vlakker elk klein stukje ervan is. zeer nauwkeurige instrumenten die we nog moeten uitvinden.

Gerelateerd:

  1. What Shape Is the Universe? A New Study Suggests We’ve Got It All Wrong
  2. Cosmic Triangles Open a Window to the Origin of Time
  3. How Ancient Light Reveals the Universe’s Contents


— Lees op Quanta Magazine


Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit /  Bijwerken )

Google photo

Je reageert onder je Google account. Log uit /  Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit /  Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit /  Bijwerken )

Verbinden met %s

Deze site gebruikt Akismet om spam te bestrijden. Ontdek hoe de data van je reactie verwerkt wordt.