Categorieën
Blog

De twee vormen van wiskundige schoonheid|Column van Robbert Dijkgraaf.

Wiskundigen waarderen doorgaans generieke of uitzonderlijke schoonheid in hun werk, maar één type is nuttiger bij het beschrijven van het universum.

*Martin Knops: een column van:

Robbert Dijkgraaf

De column werd gepubliceerd op Quanta Magazine. Zie het Engelse artikel door op onderstaande link te klikken. Daaronder heb ik de Nederlandse vertaling van het artikel geplaatst. Robbert Dijkgraaf is voor mij iemand die mij inspireerde om meer te gaan lezen over fysica in het algemeen. Vandaar dat ik dit artikel onder mijn blog geplaatst heb.

Gekwantificeerd

Een vaste column waarin toponderzoekers het ontdekkingsproces verkennen. De columnist van deze maand, Robbert Dijkgraaf, is directeur en Leon Levy Professor aan het Institute for Advanced Study in Princeton, New Jersey.

Column van Robbert Dijkgraaf


Een aloude praktijk in wiskundige kringen is om het veld in tweeën te delen. Er is het traditionele argument ‘toegepast versus puur’, dat de experimenteel-theoretische kloof van andere disciplines weerspiegelt – de spanning tussen het bevorderen van kennis naar een specifiek doel en het doen voor zichzelf. Of we kunnen wiskunde op dezelfde manier splitsen als onze hersenen zijn gesplitst, met een algebraïsche “linkerhersenhelft” die in logische reeksen denkt en een geometrische “rechterhersenhelft” die een meer visuele benadering heeft. Maar het veld valt ook uiteen volgens een subtieler onderscheid: iemands voorkeur tussen twee smaken van wiskundige schoonheid.

Het is moeilijk voor niet-experts om wiskunde in de eerste plaats als mooi te zien. Schoonheid is natuurlijk in de ogen van de toeschouwer, maar het is ook moeilijk te zien wanneer het kunstwerk verborgen is in duisternis, verduisterd door een ondoordringbare wolk van symbolen en jargon. Als je de wiskunde probeert te waarderen zonder de innerlijke werking ervan te begrijpen, is dat als het lezen van een beschrijving van Beethovens Vijfde symfonie in plaats van ernaar te luisteren.

Toch hebben wiskundigen er geen moeite mee om hun vergelijkingen en bewijzen serieus als mooi te omschrijven. Het is een gevoel voor esthetiek dat opmerkelijk universeel is gebleken, bestaande uit culturen en tijden: een Babylonische wiskundige en een moderne student zouden evenveel plezier kunnen beleven aan het bestuderen van een perfecte rangschikking van lijnen in vlakke geometrie, of in het oplossen van een kwadratische vergelijking.

En grofweg kan wiskundige schoonheid in twee vormen voorkomen: algemeen of uitzonderlijk. Ik zou zelfs willen zeggen dat wiskundigen zelf ook in deze twee smaken komen – tenminste, ze neigen naar een van de twee polen.

De eerste variant is een etherische vorm van schoonheid, weerspiegeld in formele structuren en patronen. Het is een gevoel van verwondering over de onverbiddelijke orde waarin de wiskundige wereld zichzelf rangschikt. Bedenk eens hoe perfect de natuurlijke getallen op een oneindige rij staan. Of kijk eens naar de opeenvolging van Euclidische ruimtes met toenemende afmetingen: een lijn, een vlak, een ruimte, enz. Of de nauwkeurigheid en precisie van de formele logica zelf. Deze structuren zijn ongelooflijk krachtig en bruikbaar, en vanuit een bepaald perspectief kan dat inderdaad mooi zijn.

Maar voor degenen aan de andere kant van de kloof – die naar het schijnt de meeste mensen omvat en zeker de meeste niet-wiskundigen – is het moeilijk om echt opgewonden te raken door het concept van een vectorruimte in n dimensies, of een continue functie op de reële lijn. Het waarderen van deze ideeën is het waarderen van een vorm van abstractie, en dit gevoel voor esthetiek voelt vaak koud en formeel aan. Het is de schoonheid van een ijskoningin, het best te bewonderen vanaf een veilige afstand, nooit van dichtbij.

De tweede vorm van wiskundige schoonheid is meer herkenbaar. Het betreft de uitzonderingen op de regels, de objecten die niet in een grotere categorie passen. Dit zijn de curiositeiten, de eenmalige, de wiskundige incarnaties van de betoverende fossielen en vreemde mineralen die in de 17e en 18e eeuw natuurhistorische kabinetten vulden. Deze schoonheid heeft een heel ander gevoel: het is exotisch, vreemd, intiem – en natuurlijk behoorlijk subjectief.

Als je de wiskunde probeert te waarderen zonder de innerlijke werking ervan te begrijpen, is dat als het lezen van een beschrijving van Beethovens Vijfde symfonie in plaats van ernaar te luisteren.

Beschouw bijvoorbeeld de dodecaëder, een favoriet object in veel wiskundige rariteitenkabinetten. Het is de gewone vaste stof die is opgebouwd uit 12 vijfhoeken, en het is een van de vijf perfect symmetrische lichamen. De aantrekkingskracht ervan werd mij ooit beschreven als ‘ingewikkeld, maar niet te ingewikkeld’. De vorm heeft een lange geschiedenis als een symbool van het esoterische dat teruggaat tot de oude Grieken, toen Plato een verband suggereerde tussen de vijf objecten, nu de platonische lichamen genoemd, en het fysieke universum. De dodecaëder symboliseerde alle hemellichamen – de sterren en planeten, elk perfect in vorm en beweging. Sindsdien heeft deze wiskundige vorm het buitenaardse betekend en werd het een geliefd symbool van alchemisten en astrologen. Vanuit een modern wiskundig perspectief wordt het nog steeds als uitzonderlijk beschouwd, een van de weinige symmetrische objecten die volledig op zichzelf staan en geen deel uitmaken van een groter patroon. Het is bijvoorbeeld gemakkelijk om een kubus of een tetraëder te generaliseren naar een analoog object in willekeurige afmetingen, maar er zijn geen hoger-dimensionale analogen van de dodecaëder.

Een ander wiskundig buitenbeentje, een prijsbezit voor elk kabinet, staat gewoon bekend als het monster. Het is de grootste uitzonderlijke bouwsteen waaruit alle symmetriegroepen opgebouwd kunnen worden, een wiskundig monster dat alleen zichtbaar is in een ruimte van maar liefst 196.883 dimensies. Afhankelijk van je smaak is de monstergroep ofwel het mooiste of het lelijkste object in alle wiskunde.

Beide soorten schoonheid hebben door de jaren heen wiskundigen gecharmeerd en tot veel vooruitgang geleid. Abstractie is een duidelijk krachtig hulpmiddel. Het stelt iemand in staat om met alle leden van een gezin tegelijk om te gaan, en het plaatst problemen in een breder perspectief. De wiskundige die de ijskoningin volgt, houdt vaak niet van concrete toepassingen of specifieke gevallen – Alexander Grothendieck, een van de hogepriesters van de abstracte algebra, koos ooit de beroemde 57 als een voorbeeld van een priemgetal. (Dat is het niet.) De fascinatie voor wiskundige outcasts is ook een productieve strategie geweest. Dergelijke objecten leven vaak op de kruising van meerdere ideeën en kunnen fungeren als toegangspunt tussen totaal verschillende werelden. Liefhebbers van deze stijl geven niet om “abstracte onzin” en koesteren de eigenaardigheden van de concrete zaak, wratten en zo.

Maar de echte wereld is heel anders dan het geïdealiseerde landschap van de wiskunde. De meeste wetenschappen zijn verbonden met het universum dat de echte wereld beschrijft, maar dat is slechts een van de oneindige wiskundige mogelijkheden. Zoals Jean-Pierre Serre naar verluidt tegen zijn wiskundige collega Raoul Bott grapte: “Terwijl de andere wetenschappen zoeken naar de regels die God voor dit universum heeft gekozen, zoeken wij wiskundigen naar de regels die zelfs God moet gehoorzamen.”

Wiskundige schoonheid kan twee vormen aannemen: algemeen of uitzonderlijk.

Geconfronteerd met deze existentiële vraag: welke wetten volgt het universum eigenlijk? – het is normaal dat de meeste wetenschappers aangetrokken worden tot de herkenbare charmes van de uitzonderlijke objecten in de kast. Maar de wetenschap heeft ons geleerd dat de abstracte en sobere vorm van wiskundige schoonheid vaak een veiligere keuze op de lange termijn biedt.

Een beroemde demonstratie hiervan betreft het verschijnen van de platonische lichamen in het vroege werk van de astronoom Johannes Kepler. Hij stelde een model van het zonnestelsel voor dat de afstanden tussen planeetbanen baseerde op een bepaalde configuratie van de vijf vaste stoffen. Het was een mooi idee, maar gedoemd. Kepler verwierp dit model later zelf, nadat hij tot de conclusie was gekomen dat de banen van de planeten niet de unieke perfecte vorm van een cirkel vormden, maar in plaats daarvan het lelijke uiterlijk hadden van een ellips, die een van een hele reeks vormen kan aannemen. Het leek een duidelijke stap achteruit. Hij vergeleek deze ontdekking met een “wagen vol mest” die in de Augeïsche wetenschappelijke stallen was achtergelaten.

Maar terwijl Kepler aanvankelijk op een dwaalspoor werd gebracht door zijn voorkeur voor uitzonderlijke objecten, zou Isaac Newton verder gaan met het verklaren van de elliptische banen van de planeten op basis van zijn universele zwaartekrachttheorie. In feite liet hij zien hoe alle bewegingen in de hemel versies waren van cirkels, ellipsen, hyperbolen en parabolen. De schoonheid lag in de abstracte wetten van Newton, niet in de specifieke oplossingen.

Dit is een les die natuurkundigen, en wetenschappers in het algemeen, vele malen hebben geleerd. In de 19e eeuw gingen wetenschappers weg van de willekeurige verzamelingen curiositeitskabinetten naar een meer systematische studie van de natuurlijke wereld. Biologen begonnen alle exemplaren in een groep organismen te verzamelen, niet alleen de mooiste vlinders of vogels, en ontdekten de algemene evolutietheorie. Chemici classificeerden alle elementen, gingen verder dan het gemakkelijke bling van zilver en goud, en ontdekten daarbij de patronen van het periodiek systeem. Natuurkundigen onthulden vervolgens de symmetrieën van elementaire deeltjes die verborgen zijn in de atomen van de elementen.

Elke keer ontdekten ze dat de schoonheid van het universum ligt in de abstracte structuren die ten grondslag liggen aan fysieke verschijnselen. Deze structuren kunnen in eerste instantie verwarrend aanvoelen en moeilijk om mee om te gaan, maar op de lange termijn bezien blijkt vaak veel krachtiger en betekenisvoller. En inderdaad, mooier.


Gerelateerd:

  1. The Subtle Art of the Mathematical Conjecture
  2. There Are No Laws of Physics. There’s Only the Landscape.
  3. To Solve the Biggest Mystery in Physics, Join Two Kinds of Law

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit /  Bijwerken )

Google photo

Je reageert onder je Google account. Log uit /  Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit /  Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit /  Bijwerken )

Verbinden met %s