Wiskundigen verkennen Mirror Link tussen twee geometrische werelden.

Tientallen jaren nadat natuurkundigen een verbluffend wiskundig toeval tegenkwamen, begrijpen onderzoekers bijna het verband tussen twee schijnbaar niet-verwante geometrische universums.

Zevenentwintig jaar geleden deed een groep natuurkundigen een toevallige ontdekking die de wiskunde op zijn kop zette. De natuurkundigen probeerden de details van de snaartheorie uit te werken toen ze een vreemde overeenkomst zagen: getallen die uit een soort geometrische wereld kwamen, kwamen exact overeen met heel verschillende soorten getallen uit een heel ander soort geometrische wereld.

Voor natuurkundigen was de correspondentie interessant. Voor wiskundigen was het belachelijk. Ze bestudeerden deze twee geometrische instellingen al decennia lang afzonderlijk van elkaar. Beweren dat ze nauw verwant waren, leek even onwaarschijnlijk als beweren dat op het moment dat een astronaut op de maan springt, een of andere verborgen connectie ervoor zorgt dat zijn zus weer op aarde springt.

“Het zag er volkomen schandalig uit”, zei David Morrison , een wiskundige aan de Universiteit van Californië, Santa Barbara, en een van de eerste wiskundigen die de matching numbers onderzocht.

Bijna drie decennia later heeft ongeloof allang plaatsgemaakt voor openbaring. De geometrische relatie die de natuurkundigen voor het eerst observeerden, is het onderwerp van een van de meest bloeiende velden in de hedendaagse wiskunde. Het veld wordt spiegelsymmetrie genoemd, verwijzend naar het feit dat deze twee schijnbaar verre wiskundige universums op de een of andere manier elkaar precies lijken te reflecteren. En sinds de waarneming van die eerste correspondentie – een reeks getallen aan de ene kant die overeenkwam met een reeks getallen aan de andere – hebben wiskundigen veel meer voorbeelden gevonden van een uitgebreide spiegelrelatie: niet alleen springen de astronaut en zijn zus samen, ze springen ook samen. zwaai ook met hun handen en droom tegelijk.

Onlangs heeft de studie van spiegelsymmetrie een nieuwe wending genomen. Na jarenlang meer voorbeelden van hetzelfde onderliggende fenomeen te hebben ontdekt, komen wiskundigen dichter bij een verklaring waarom het fenomeen überhaupt gebeurt.

‘We komen op het punt waarop we de grond hebben gevonden. Er is een landing in zicht ”, zegt Denis Auroux , een wiskundige aan de University of California, Berkeley.

Verschillende groepen wiskundigen proberen om een ​​fundamentele verklaring voor spiegelsymmetrie te vinden. Ze naderen bewijzen van de centrale vermoedens in het veld. Hun werk is als het blootleggen van een vorm van geometrisch DNA – een gedeelde code die uitlegt hoe twee radicaal verschillende geometrische werelden mogelijk gemeenschappelijke eigenschappen kunnen hebben.

De spiegel ontdekken

Wat uiteindelijk het veld van spiegelsymmetrie zou worden, begon toen natuurkundigen op zoek gingen naar wat extra dimensies. Al in de late jaren zestig hadden natuurkundigen geprobeerd het bestaan ​​van fundamentele deeltjes – elektronen, fotonen, quarks – uit te leggen in termen van minuscule trillende snaren. In de jaren tachtig begrepen natuurkundigen dat om de snaartheorie te laten werken, de snaren in 10 dimensies moesten bestaan ​​- zes meer dan de vierdimensionale ruimte-tijd die we kunnen waarnemen. Ze stelden voor dat wat er in die zes onzichtbare dimensies gebeurde, de waarneembare eigenschappen van onze fysieke wereld bepaalde.

“Je hebt misschien deze kleine ruimte die je niet direct kunt zien of meten, maar sommige aspecten van de geometrie van die ruimte kunnen de natuurkunde in de echte wereld beïnvloeden”, zegt Mark Gross , een wiskundige aan de Universiteit van Cambridge.

Uiteindelijk kwamen ze met mogelijke beschrijvingen van de zes dimensies. Maar voordat je ze nadert, is het de moeite waard om even na te denken over wat het betekent dat een ruimte een geometrie heeft.

Overweeg een bijenkorf en een wolkenkrabber. Beide zijn driedimensionale structuren, maar elk heeft een heel andere geometrie: hun lay-outs zijn verschillend, de kromming van hun buitenkant is anders, hun binnenhoeken zijn anders. Evenzo bedachten snaartheoretici heel verschillende manieren om de ontbrekende zes dimensies voor te stellen.

Een methode is ontstaan ​​in het wiskundige veld van de algebraïsche meetkunde. Hier bestuderen wiskundigen polynoomvergelijkingen – bijvoorbeeld 2 + 2 = 1 – door hun oplossingen te plotten (in dit geval een cirkel). Meer gecompliceerde vergelijkingen kunnen uitgebreide geometrische ruimtes vormen. Wiskundigen onderzoeken de eigenschappen van die ruimtes om de oorspronkelijke vergelijkingen beter te begrijpen. Omdat wiskundigen vaak complexe getallen gebruiken, worden deze spaties gewoonlijk “complexe” variëteiten (of vormen) genoemd.

Het andere type geometrische ruimte werd voor het eerst geconstrueerd door na te denken over fysieke systemen zoals planeten in een baan . De coördinaatwaarden van elk punt in dit soort geometrische ruimte kunnen bijvoorbeeld de locatie en het momentum van een planeet aangeven. Als je alle mogelijke posities van een planeet samen met alle mogelijke momenta inneemt, krijg je de “faseruimte” van de planeet – een geometrische ruimte waarvan de punten een volledige beschrijving geven van de beweging van de planeet. Deze ruimte heeft een “symplectische” structuur die de fysische wetten codeert die de beweging van de planeet beheersen.

Symplectische en complexe geometrieën zijn net zo verschillend van elkaar als bijenwas en staal. Ze maken heel verschillende soorten ruimtes. Complexe vormen hebben een zeer stijve structuur. Denk nog eens aan de cirkel. Als je het zelfs maar een beetje wiebelt, is het niet langer een cirkel. Het is een geheel aparte vorm die niet kan worden beschreven door een polynoomvergelijking. Symplectische meetkunde is veel slapper. Daar zijn een cirkel en een cirkel met een klein wiebeltje erin bijna hetzelfde.

“Algebraïsche meetkunde is een meer rigide wereld, terwijl symplectische meetkunde flexibeler is”, zegt Nick Sheridan , een research fellow aan Cambridge. “Dat is een van de redenen waarom het zulke verschillende werelden zijn, en het is zo verrassend dat ze uiteindelijk in diepe zin gelijkwaardig zijn.”

Eind jaren tachtig bedachten snaartheoretici twee manieren om de ontbrekende zes dimensies te beschrijven: de ene afgeleid van symplectische meetkunde, de andere van complexe meetkunde. Ze toonden aan dat elk type ruimte consistent was met de vierdimensionale wereld die ze probeerden uit te leggen. Zo’n koppeling wordt een dualiteit genoemd: beide werken, en er is geen test die je kunt gebruiken om ze van elkaar te onderscheiden.

Natuurkundigen begonnen toen te onderzoeken hoe ver de dualiteit reikte. Terwijl ze dat deden, ontdekten ze verbanden tussen de twee soorten ruimtes die de aandacht van wiskundigen trokken.

Mark Gross, een wiskundige aan de Universiteit van Cambridge, en een collega leggen de laatste hand aan een bewijs dat een universele methode vaststelt om de ene spiegelruimte van de andere te construeren.

“Ik denk dat we op het punt komen dat alle grote “waarom” -vragen bijna begrepen worden.”

Denis Auroux

In 1991 voerde een team van vier natuurkundigen – Philip Candelas , Xenia de la Ossa , Paul Green en Linda Parkes – een berekening uit aan de complexe kant en genereerde getallen die ze gebruikten om voorspellingen te doen over overeenkomstige getallen aan de symplectische kant. De voorspelling had te maken met het aantal verschillende soorten curven dat in de zesdimensionale symplectische ruimte kon worden getekend. Wiskundigen hadden lang geworsteld om deze curven te tellen. Ze hadden nooit overwogen dat deze tellingen van krommen iets te maken hadden met de berekeningen op complexe ruimtes die natuurkundigen nu gebruikten om hun voorspellingen te doen.

Het resultaat was zo vergezocht dat wiskundigen aanvankelijk niet wisten wat ze ervan moesten denken. Maar toen, in de maanden na een haastig bijeengeroepen bijeenkomst van natuurkundigen en wiskundigen in Berkeley, Californië, in mei 1991, werd het verband onweerlegbaar. “Uiteindelijk werkten wiskundigen aan het verifiëren van de voorspellingen van de natuurkundigen en realiseerden ze zich dat deze overeenkomst tussen deze twee werelden echt iets was dat onopgemerkt was gebleven door wiskundigen die de twee kanten van deze spiegel eeuwenlang hadden bestudeerd”, zei Sheridan.

De ontdekking van deze spiegeldualiteit betekende dat wiskundigen die deze twee soorten geometrische ruimtes bestudeerden, in korte tijd twee keer zoveel tools tot hun beschikking hadden: nu konden ze technieken uit de algebraïsche meetkunde gebruiken om vragen in symplectische meetkunde te beantwoorden, en vice versa. Ze wierpen zich op het werk om de verbinding te exploiteren.

Uit elkaar gaan is moeilijk

Tegelijkertijd trachtten wiskundigen en natuurkundigen een gemeenschappelijke oorzaak of onderliggende geometrische verklaring voor het spiegelfenomeen te identificeren. Op dezelfde manier dat we nu overeenkomsten tussen zeer verschillende organismen kunnen verklaren door middel van elementen van een gedeelde genetische code, probeerden wiskundigen spiegelsymmetrie te verklaren door symplectische en complexe variëteiten op te splitsen in een gedeelde set van basiselementen die ‘torusvezels’ worden genoemd.

Een torus is een vorm met een gat in het midden. Een gewone cirkel is een eendimensionale torus en het oppervlak van een doughnut is een tweedimensionale torus. Een torus kan een willekeurig aantal afmetingen hebben. Lijm veel lager dimensionale tori op de juiste manier aan elkaar, en je kunt er een hoger dimensionale vorm van bouwen.

Om een ​​eenvoudig voorbeeld te geven, stel je het oppervlak van de aarde voor. Het is een tweedimensionale bol. Je zou het ook kunnen zien als gemaakt van vele eendimensionale cirkels (zoals vele breedtegraden) die aan elkaar zijn gelijmd. Al deze aan elkaar geplakte cirkels zijn een ‘torusfibratie’ van de bol – de afzonderlijke vezels die samen zijn geweven tot een groter geheel.


Wiskundigen werken in twee verschillende geometrische universums. 
Symplectische geometrie komt voort uit de studie van beweging in de ruimte. 
Complexe geometrie ontstaat uit oplossingen voor bepaalde soorten vergelijkingen. 
Maar door spiegelsymmetrie kunnen de twee worden verbonden. 
Torus Transformers Een torus is een vorm met een gat erin. 
Door een object af te breken tot de samenstellende tori – een “torusfibratie” aan te nemen – kan een symplectische vorm worden gereconstrueerd tot een complexe vorm. 
Afbeelding 1 van het oppervlak van een bol met het label “Geometry: Symplectic” Afbeelding 2 toont het oppervlak van de bol in vele ringen, tori genaamd. 
Elke torus is een vezel in de trilling. 
Afbeelding 3 opmerkingen om het omgekeerde van de straal van elke torus te nemen. 
De afbeelding toont het voorbeeld van één tori met een straal van 2. De reciproque tori heeft een straal van 1/2. 
Afbeelding 4 Aantekeningen om alle wederkerige tori weer in elkaar te zetten in een nieuwe vorm, genaamd “Geometry: Complex” Puntproblemen Fibraties komen in de problemen bij de polen. 
Bij deze singulariteiten heeft de torusvezel een straal van nul, waardoor zijn reciproque oneindig is. 
Het probleem wordt acuter in hoger-dimensionale ruimtes, die een oneindig aantal singulariteiten kunnen hebben.
Lucy Reading-Ikkanda / Quanta Magazine

Torusfibraties zijn op een aantal manieren nuttig. Een daarvan is dat ze wiskundigen een eenvoudigere manier geven om over gecompliceerde ruimtes te denken. Net zoals je een torusfibratie van een tweedimensionale bol kunt construeren, kun je een torusfibratie construeren van de zesdimensionale symplectische en complexe ruimtes die in spiegelsymmetrie voorkomen. In plaats van cirkels zijn de vezels van die ruimtes driedimensionale tori. En hoewel een zesdimensionale symplectische variëteit onmogelijk te visualiseren is, is een driedimensionale torus bijna tastbaar. “Dat is al een grote hulp,” zei Sheridan.

Een torusfibratie is op een andere manier nuttig: het reduceert de ene spiegelruimte tot een set bouwstenen die je zou kunnen gebruiken om de andere te bouwen. Met andere woorden, je kunt een hond niet noodzakelijkerwijs begrijpen door naar een eend te kijken, maar als je elk dier opsplitst in zijn ruwe genetische code, kun je naar overeenkomsten zoeken waardoor het minder verrassend lijkt dat beide organismen ogen hebben.

Hier, in een vereenvoudigde weergave, is hoe een symplectische ruimte in zijn complexe spiegel kan worden omgezet. Voer eerst een torusfibratie uit op de symplectische ruimte. Je krijgt veel tori. Elke torus heeft een straal (net zoals een cirkel – een eendimensionale torus – een straal heeft). Neem vervolgens het omgekeerde van de straal van elke torus. (Dus een torus met straal 4 in je symplectische ruimte wordt een torus met straal ¼ in de complexe spiegel.) Gebruik dan deze nieuwe tori, met wederkerige stralen, om een ​​nieuwe ruimte te bouwen.

In 1996 stelden Andrew Strominger , Shing-Tung Yau en Eric Zaslowdeze methode voor als een algemene benadering voor het omzetten van elke symplectische ruimte in zijn complexe spiegel. Het voorstel dat het altijd mogelijk is om een ​​torusfibratie te gebruiken om van de ene kant van de spiegel naar de andere kant te gaan, wordt het SYZ-vermoeden genoemd, naar de bedenkers ervan. Het bewijzen ervan is een van de fundamentele vragen in spiegelsymmetrie geworden (samen met het homologische spiegelsymmetrie-vermoeden, voorgesteld door Maxim Kontsevich in 1994).

Het SYZ-vermoeden is moeilijk te bewijzen, omdat in de praktijk deze procedure van het creëren van een torusfibratie en vervolgens het nemen van reciproque van de radii niet gemakkelijk is. Om te zien waarom, keert u terug naar het voorbeeld van het aardoppervlak. In eerste instantie lijkt het gemakkelijk om er cirkels op te zetten, maar bij de polen hebben je cirkels een straal van nul. En het omgekeerde van nul is oneindig. ‘Als je straal gelijk is aan nul, heb je een klein probleempje’, zei Sheridan.

Dezelfde moeilijkheid duikt op een meer uitgesproken manier op wanneer je een torusfibratie probeert te creëren van een zesdimensionale symplectische ruimte. Daar heb je misschien oneindig veel torusvezels waarbij een deel van de vezel tot een punt wordt samengeknepen – punten met een straal van nul. Wiskundigen proberen nog steeds uit te vinden hoe ze met dergelijke vezels moeten werken. “Deze torusfibratie is echt de grote moeilijkheid van spiegelsymmetrie”, zegt Tony Pantev , een wiskundige aan de Universiteit van Pennsylvania.

Anders gezegd: het SYZ-vermoeden zegt dat een torusfibratie de belangrijkste schakel is tussen symplectische en complexe ruimtes, maar in veel gevallen weten wiskundigen niet hoe ze de vertaalprocedure moeten uitvoeren die het vermoeden voorschrijft.

Lang verborgen verbindingen

In de afgelopen 27 jaar hebben wiskundigen honderden miljoenen voorbeelden van spiegelparen gevonden: dit symplectische spruitstuk staat in een spiegelrelatie met dat complexe spruitstuk. Maar als het erop aankomt te begrijpen waarom een ​​fenomeen optreedt, doet kwantiteit er niet toe. Je zou de zoogdieren van een ark kunnen samenstellen zonder nog beter te begrijpen waar haar vandaan komt.

“We hebben enorm veel voorbeelden, zo’n 400 miljoen voorbeelden. Het is niet zo dat er een gebrek aan voorbeelden is, maar toch zijn het nog steeds specifieke gevallen die niet echt aangeven waarom het hele verhaal werkt, ”zei Gross.

Wiskundigen zouden graag een algemene constructiemethode willen vinden – een proces waarbij je ze elk symplectisch spruitstuk zou kunnen overhandigen en ze je de spiegel ervan terug zouden kunnen geven. En nu geloven ze dat ze het bijna hebben. “We gaan voorbij aan het begrip van geval tot geval van het fenomeen,” zei Auroux. “We proberen te bewijzen dat het zo algemeen mogelijk werkt.”

Wiskundigen maken vorderingen langs verschillende onderling samenhangende fronten. Na tientallen jaren het veld van spiegelsymmetrie opgebouwd te hebben, begrijpen ze bijna de belangrijkste redenen waarom het veld überhaupt werkt.

“Ik denk dat het binnen een redelijke tijd zal gebeuren”, zegt Kontsevich, een wiskundige aan het Instituut voor geavanceerde wetenschappelijke studies (IHES) in Frankrijk en een leider op dit gebied. “Ik denk dat het heel snel zal worden bewezen.”

Een actief onderzoeksgebied creëert een einde aan het vermoeden van SYZ. Het probeert geometrische informatie van de symplectische kant naar de complexe kant over te brengen zonder een volledige torusfibratie. In 2016 publiceerden Gross en zijn langdurige medewerker Bernd Siebert van de Universiteit van Hamburg een methode voor algemeen gebruik om dit te doen. Ze zijn nu bezig met het afronden van een proef om vast te stellen dat de methode werkt voor alle spiegelruimtes. “Het bewijs is nu volledig opgeschreven, maar het is een puinhoop”, zei Gross, die zei dat hij en Siebert hopen het tegen het einde van het jaar af te hebben.

Een andere belangrijke open onderzoekslijn probeert vast te stellen dat, aangenomen dat je een torusfibratie hebt, die je spiegelruimten geeft, alle belangrijke relaties van spiegelsymmetrie daaruit vallen. Het onderzoeksprogramma heet “family Floer theory” en wordt ontwikkeld door Mohammed Abouzaid , een wiskundige aan Columbia University. In maart 2017 publiceerde Abouzaid een paper dat bewees dat deze ketting van logica geldt voor bepaalde soorten spiegelparen, maar nog niet allemaal.

En tot slot is er werk dat terugkeert naar waar het veld begon. Een drietal wiskundigen – Sheridan, Sheel Ganatra en Timothy Perutz – bouwt voort op baanbrekende ideeën die in de jaren negentig door Kontsevich zijn geïntroduceerd in verband met zijn vermoeden van homologische spiegelsymmetrie.

Cumulatief zouden deze drie initiatieven een potentieel volledige inkapseling van het spiegelfenomeen opleveren. “Ik denk dat we op het punt komen dat alle grote ‘waarom’-vragen bijna begrepen worden,” zei Auroux.

Dit artikel is herdrukt op Wired.com .


Dit artikel werd gepubliceerd op:

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-explore-mirror-link-between-two-geometric-worlds-20180409/

Gerelateerd:

  1. Geheime link ontdekt tussen pure wiskunde en natuurkunde
  2. Kwantumvragen inspireren nieuwe wiskunde
  3. Een gevecht om de fundamenten van geometrie te herstellen

Geef een reactie